OCamlのsetの実装の軽い紹介

Competitive Programming Advent Calendar 2016 - Adventar 1日目の記事です。

OCamlのsetがsplit/merge可能なAVL木になっているので、それの簡単な紹介です。 ちなみに、上の一文でこの記事の9割は終わったも同然です。

いくつかコアの関数を軽く紹介。計算量でh(t)って書いてあるのは、AVL木 t の高さのこと

balance

  • |h(n.l) - h(n.r)| = 3 のときに、木を回転させて |h(n.l) - h(n.r)| < 3 にする。
  • 計算量は O(1)
  • OCamlの実装だと、balという名前がついている
  • OCamlのset実装のAVLは、|Balance factor| <= 2 が不変条件になっているので注意。 gist.github.com

join(Node l, Node v, Node r)

  • l, v, r の並びでマージする関数
  • h(l), h(r) は任意で、h(v) = 1
  • 計算量は O(|h(l) - h(r)|)

gist.github.com

merge(Node l, Node r)

  • 2つのAVL木 l, r をマージする関数
  • 計算量は O(max(h(l), h(r)))
  • OCamlの実装だと、concatという名前がついている

gist.github.com

split(Node t, int k)

  • AVL木 t を [0,k), [k,size(n)) で分割する関数
  • 計算量は O(h(t))
    • (splitで再帰しながらjoinを呼んでおり一見 O(h(t)) に見えないが、joinしていく木の高さが徐々に高くなっていき、O(h1 + (h2 - h1) + (h3 - h2) + ...) = O(h(t)) となるのが面白い)

gist.github.com

性能

コピー&ペーストで、AVLとRBSTの性能を計測してみました。

問題
copypaste: コピー&ペースト - 2012年 日本情報オリンピック春合宿OJ | AtCoder
JOI 2011-2012 春季トレーニング合宿 問題

AVLによる解答 Submission #1000130 - 2012年 日本情報オリンピック春合宿OJ | AtCoder
RBSTによる解答 Submission #1000163 - 2012年 日本情報オリンピック春合宿OJ | AtCoder

AVLのほうがRBSTより速い(やけに実行速度が速いけど、昔よりジャッジが早くなってたりする?)

反省

  • 本当は図を入れたりして、どんな操作か丁寧に説明したかったのですが、間に合わず😞

明日の担当は tubo28 さんと snuke さんです。

参考(といいつつ自分はあんまり見てない)

Codeforces Round #372 (Div. 1) B. Complete The Graph

codeforces.com

Codeforces Round #372 Editorial - Codeforces

解法

辺のコストを1つあげると、最短経路のコストは0か1増加する。 広義単調増加なので、割り当てるコストの総和を2分探索で求めればよい。 辺のコストの割り当て方は適当でよい。

gist.github.com

Union Findで集合の要素をたどる

この記事は Competitive Programming Advent Calendar 2015 - Adventar の24日目の記事です。

UnionFindの素朴な実装だと、併合と同じ集合かどうかの判定は出来ても、集合の要素だけを列挙することはできません。 しかし、UnionFindにリストを組み込んで併合の度に更新することで、集合の要素を列挙できるようになります。

next, lastの処理以外は普通のUnionFindです。

gist.github.com

ライブラリ化したものの特に役に立たずお蔵入りしていましたが、 No.416 旅行会社 - yukicoder を解いたときに使ったのでそういえばCPAC 2015で何も書いてなかったしこれでお茶を濁そうかと思い記事にしました。

yukicoder No.409 ダイエット

一言

CHTの勉強。 自力では解けず解説を見た。 ArrayDequeで書いたのは失敗だった。

問題

No.409 ダイエット - yukicoder

回答

gist.github.com

yukicoder No.412 花火大会

一言

解説ではDPと書いてあるが、自分はDPしない解法。

問題

No.412 花火大会 - yukicoder

回答

gist.github.com

AOJ 1332 Company Organization

これは AOJ-ICPC Advent Calendar 2015 の 19 日目の記事です。

AOJ 1332 Company Organization の解説記事です。

デバッグが大変。 文章も数式も書けないので読みにくいと思います。

問題概要

n個の集合とm個の制約が与えられる。 入力で与えられた順に制約を追加していくとき、矛盾せずに制約を最大いくつ追加できるか。

制約の種類は5種類

  1. Xi ⊆ Xj
  2. Xi = Xj
  3. Xi ≠ Xj
  4. Xi ∩ Xj = Φ
  5. Xi ∩ Xj ≠ Φ

解法

1ケース当たり O((n3 + m) log m)で解きました(AOJでは通ったけど、本番ではどうなんだろう)。

二分探索で答えを求める。 制約を満たせるかどうかの判定は以下の手順で行う。

まず、各集合を頂点とし、以下のような有向辺を持つグラフを作る。

  • Xi ⊆ Xj の制約がある場合は j -> i の辺を追加
  • Xi = Xj の場合は j <-> i の辺を追加

このグラフについて以下のあれが成り立つ。

  • 同じ閉路にある集合は全て等しい
  • Xi ∩ Xj = Φ => Xi ∩ Xjの子 = Φ
  • Xi ∩ Xj ≠ Φ => Xi ∩ Xjの親 ≠ Φ

これをもとに集合のペア Xi, Xj に以下の関係が成り立つかどうか求めて、矛盾の有無を確認する。

  • Xi = Xj
  • Xi ≠ Xj
  • Xi ∩ Xj = Φ
  • Xi ∩ Xj ≠ Φ

ソースコード

import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.*;

import static java.util.Arrays.*;

public class Main {
    private static final int mod = (int)1e9+7;

    final Random random = new Random(0);
    final IOFast io = new IOFast();

    /// MAIN CODE
    public void run() throws IOException {
//     int TEST_CASE = Integer.parseInt(new String(io.nextLine()).trim());
        int TEST_CASE = 1<<29;
        while(TEST_CASE-- != 0) {
            n = io.nextInt();
            m = io.nextInt();
            if(n == 0) break;
            for(int i = 0; i < m; i++) {
                for(int j = 0; j < 3; j++) {
                    query[i][j] = io.nextInt();
                    query[i][j]--;
                }
            }
            int low = 0, high = m + 1;
            while(high - low > 1) {
                int mid = (low + high) / 2;
                if(can(mid)) low = mid;
                else high = mid;
            }
            io.out.println(low);
        }
    }
    
    int n, m;
    int[][] query = new int[10000][3];
    
    boolean can(int use) {
        StronglyConnectedComponent scc = new StronglyConnectedComponent(n);
        for(int i = 0; i < use; i++) {
            if(query[i][0] == 0) {
                scc.addEdge(query[i][2], query[i][1]);
            }
            if(query[i][0] == 1) {
                scc.addEdge(query[i][2], query[i][1]);
                scc.addEdge(query[i][1], query[i][2]);
            }
        }
        final int K = scc.scc();
        boolean[][] neq = new boolean[K][K];
        boolean[][] emp = new boolean[K][K];
        boolean[][] nemp = new boolean[K][K];
        for(int i = 0; i < use; i++) {
            final int a = scc.cmp[query[i][1]];
            final int b = scc.cmp[query[i][2]];
            if(query[i][0] == 2) {
                neq[b][a] = true;
                neq[a][b] = true;
            }
            if(query[i][0] == 3) {
                emp[b][a] = true;
                emp[a][b] = true;
            }
            if(query[i][0] == 4) {
                nemp[b][a] = true;
                nemp[a][b] = true;
            }
        }
        int[] p = new int[K];
        int[] in = new int[K];
        Arrays.fill(p, -1);
        List<List<Integer>> g = new ArrayList<List<Integer>>();
        List<List<Integer>> rg = new ArrayList<List<Integer>>();
        for(int i = 0; i < K; i++) {
            g.add(new ArrayList<Integer>());
            rg.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int t : scc.G.get(i)) {
                int a = scc.cmp[i];
                int b = scc.cmp[t];
                if(a != b) {
                    g.get(a).add(b);
                    rg.get(b).add(a);
                    in[b]++;
                }
            }
        }
        final int[] depth = new int[K];
        Arrays.fill(depth, -1);
        Queue<Integer> que = new ArrayDeque<Integer>();
        for(int i = 0; i < K; i++) {
            if(in[i] == 0) {
                que.add(i);
                depth[i] = 0;
            }
        }
        while(!que.isEmpty()) {
            int v = que.poll();
            for(int t : g.get(v)) if(depth[t] == -1) {
                depth[t] = depth[v] + 1;
                que.add(t);
            }
        }
        Integer[] ascend = new Integer[K];
        Integer[] descend = new Integer[K];
        for(int i = 0; i < K; i++) {
            ascend[i] = i;
            descend[i] = i;
        }
        Arrays.sort(ascend, (a,b)->depth[a]-depth[b]);
        Arrays.sort(descend, (a,b)->depth[b]-depth[a]);
        for(int i = 0; i < K; i++) {
            for(int j = 0; j < K; j++) {
                {
                    final int a = ascend[i];
                    final int b = ascend[j];
                    if(emp[a][b]) {
                        for(int t : g.get(b)) { emp[a][t] = emp[t][a] = true; }
                        for(int t : g.get(a)) { emp[b][t] = emp[t][b] = true; }
                    }
                }
                {
                    final int a = descend[i];
                    final int b = descend[j];
                    if(nemp[a][b]) {
                        for(int t : rg.get(b)) { nemp[a][t] = nemp[t][a] = true; }
                        for(int t : rg.get(a)) { nemp[b][t] = nemp[t][b] = true; }
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = 0; i < K; i++) {
            for(int j = 0; j < K; j++) {
                if(neq[i][j] && i == j) { return false; }
                if(neq[i][j] && emp[i][i] && emp[j][j]) { return false; }
                if(emp[i][j] && nemp[i][j]) { return false; }
                if(nemp[i][j] && (emp[i][i] || emp[j][j])) { return false; }
            }
        }
        return true;
    }
    
    static
    public class StronglyConnectedComponent {
        int V;
        List<List<Integer>> G;
        List<List<Integer>> rG;
        List<Integer> vs;
        boolean[] used;
        public int[] cmp;

        public StronglyConnectedComponent(int n) {
            V = n;
            G = new ArrayList<List<Integer>>(n);
            rG = new ArrayList<List<Integer>>(n);
            vs = new ArrayList<Integer>();
            used = new boolean[n];
            cmp = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                G.add(new ArrayList<Integer>());
                rG.add(new ArrayList<Integer>());
            }
        }

        public void addEdge(int from, int to) {
            G.get(from).add(to);
            rG.get(to).add(from);
        }

        private void dfs(int v) {
            used[v] = true;
            for (int i = 0; i < G.get(v).size(); i++)
                if (!used[G.get(v).get(i)])
                    dfs(G.get(v).get(i));
            vs.add(v);
        }

        private void rdfs(int v, int k) {
            used[v] = true;
            cmp[v] = k;
            for (int i = 0; i < rG.get(v).size(); i++)
                if (!used[rG.get(v).get(i)])
                    rdfs(rG.get(v).get(i), k);
        }
        
        public int scc() {
            for (int i = 0; i < V; i++)
                used[i] = false;
            vs.clear();
            for (int i = 0; i < V; i++)
                if (!used[i])
                    dfs(i);
            for (int i = 0; i < V; i++)
                used[i] = false;
            int k = 0;
            for (int i = vs.size() - 1; i >= 0; i--)
                if (!used[vs.get(i)])
                    rdfs(vs.get(i), k++);
            return k;
        }
    }

    
    /// TEMPLATEは省略
}

CodeChef March Challenge 2015 - TREECNT2

本番解けなかったので復習した。 TREECNT2 - Editorial - CodeChef Discuss と同じ方針で書いたつもりだけど、自分の書き方が悪いせいかTLEが厳しかった。

これくらい複雑だと、コーディングする最中に混乱してくるし、デバッグも机上だと辛くなってくる。

import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.*;
import java.util.Map.Entry;

import static java.util.Arrays.*;

public class Main implements Runnable {
// private static final int mod = (int)1e9+7;
// private static final int mod = 104857601;

    static final boolean debug = false;
    final Random random = new Random(0);
    final IOFast io = new IOFast();

    /// MAIN CODE
    @Override
    public void run() {
        try {
            runMain();
        } catch (IOException e) {
            // TODO Auto-generated catch block
            e.printStackTrace();
        }
    }
    
    private void runMain() throws IOException {
        if(debug) {
            while(true) searchBadCase();
        }
        
//     int TEST_CASE = Integer.parseInt(new String(io.nextLine()).trim());
        int TEST_CASE = 1;
        while(TEST_CASE-- != 0) {
            n = io.nextInt();
            es = new int[n-1][];
            for(int i = 0; i < n - 1; i++) {
                int s, t, w;
                s = io.nextInt() - 1;
                t = io.nextInt() - 1;
                w = io.nextInt();
                es[i] = new int[]{s,t,w,};
            }
            
            Qs = new int[io.nextInt()][2];
            for(int i = 0; i < Qs.length; i++) {
                Qs[i][0] = io.nextInt() - 1;
                Qs[i][1] = io.nextInt();
            }

            for(long v : solve()) {
                io.out.println(v);
            }
        }
    }
    
    long[] solve() {
        int[][] gi = new int[MAX_L+1][];
        int[][] gq = new int[MAX_L+1][];
        List<Integer>[] tmpG = new List[MAX_L+1];
        for(int i = 0; i < gi.length; i++) {
            tmpG[i] = new ArrayList<Integer>();
        }

        int[] moebius = moebiusMu(MAX_L);
        final int[] factor = new int[256];
        for(int i = 0; i < es.length; i++) {
            final int len = getFactor(factor, es[i][2]);
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                tmpG[factor[j]].add(i);
            }
        }
        for(int i = 2; i <= MAX_L; i++) {
            gi[i] = new int[tmpG[i].size()];
            for(int j = 0; j < gi[i].length; j++) {
                gi[i][j] = tmpG[i].get(j);
            }
            tmpG[i].clear();
        }
        
        for(int i = 0; i < Qs.length; i++) {
            final int len = getFactor(factor, Qs[i][1]);
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                tmpG[factor[j]].add(i);
            }
        }
        for(int i = 2; i <= MAX_L; i++) {
            gq[i] = new int[tmpG[i].size()];
            for(int j = 0; j < gq[i].length; j++) {
                gq[i][j] = tmpG[i].get(j);
            }
        }
        
        int gid = 0;
        final int[] vid = new int[MAX_N];
        final int[] vid2 = new int[MAX_N];
        final int[] vindex_vi = new int[MAX_N];
        final int[] vindex_iv = new int[MAX_N];
        final int[] vindex_vi2 = new int[MAX_N];
        final int[] vindex_iv2 = new int[MAX_N];
        final int[] eid_q = new int[MAX_N];
        final int[] eid_union = new int[MAX_N];
        final long[] ans = new long[Qs.length+1];
        final UnionFind_ClearFast_Sum uf = new UnionFind_ClearFast_Sum(n);
        final UnionFind_ClearFast_Sum uf2 = new UnionFind_ClearFast_Sum(n);
        
        Arrays.fill(ans, n * (n - 1L) / 2);
        
        for(int i = 2; i <= MAX_L; i++) if(gi[i].length > 0 || gq[i].length > 0) {
            gid++;
            
            for(final int e[] : Qs) {
                eid_q[e[0]] = gid;
            }
            
            int vsize = 0;
            for(final int e : gi[i]) {
                for(int j = 0; j < 2; j++) {
                    final int k = es[e][j];
                    if(vid[k] != gid) {
                        vid[k] = gid;
                        vindex_iv[vsize] = k;
                        vindex_vi[k] = vsize++;
                    }
                }
            }
            for(final int e : gq[i]) {
                for(int j = 0; j < 2; j++) {
                    final int k = es[Qs[e][0]][j];
                    if(vid[k] != gid) {
                        vid[k] = gid;
                        vindex_iv[vsize] = k;
                        vindex_vi[k] = vsize++;
                    }
                }
            }
            
            uf.clear();
            for(final int e : gi[i]) {
                if(eid_q[e] != gid) {
                    uf.union(vindex_vi[es[e][0]], vindex_vi[es[e][1]]);
                }
                else {
                    eid_union[e] = gid;
                }
            }
            
            int vsize2 = 0;
            for(int j = 0; j < vsize; j++) {
                final int r = uf.root(j);
                if(vid2[r] != gid) {
                    vid2[r] = gid;
                    vindex_iv2[vsize2] = r;
                    vindex_vi2[r] = vsize2++;
                }
                vindex_vi2[j] = vindex_vi2[r];
            }
            
            long prevVal = Long.MIN_VALUE;
            for(int q = 0, gq_idx = 0; q <= Qs.length; q++) {
                if(prevVal == Long.MIN_VALUE) {
                    uf2.clear();
                    
                    for(int j = 0; j < vsize2; j++) {
                        uf2.setSum(j, uf.size(vindex_iv2[j]));
                    }
                    
                    for(final int[] qe : Qs) {
                        final int e = qe[0];
                        if(eid_union[e] == gid) {
                            final int a = vindex_vi2[vindex_vi[es[e][0]]];
                            final int b = vindex_vi2[vindex_vi[es[e][1]]];
                            uf2.union(a, b);
                        }
                    }
                    
                    prevVal = 0;
                    for(int j = 0; j < vsize2; j++) {
                        if(uf2.root(j) == j) {
                            final int v = uf2.getSum(j);
                            prevVal += moebius[i] * v * (v - 1L) / 2;
                        }
                    }
                }
                ans[q] += prevVal;
                
                if(q != Qs.length) {
                    boolean prevCond = eid_union[Qs[q][0]] == gid;
                    if(gq_idx < gq[i].length && gq[i][gq_idx] == q) {
                        gq_idx++;
                        eid_union[Qs[q][0]] = gid;
                    }
                    else {
                        eid_union[Qs[q][0]] = gid - 1;
                    }
                    boolean curCond = eid_union[Qs[q][0]] == gid;
                    if(prevCond != curCond) {
                        prevVal = Long.MIN_VALUE;
                    }
                }
            }
        }
        
        return ans;
    }
    
    int[] tmpGetFactor = new int[32];
    int getFactor(final int[] factor, int v) {
        int len = 0;
        for(; v != 1; ) {
            final int d = minDiv[v];
            tmpGetFactor[len++] = d;
            while(d == minDiv[v]) {
                v /= minDiv[v];
            }
        }
        int len2 = 0;
        for(int j = 1; j < 1 << len; j++) {
            int v2 = 1;
            for(int k = 0; k < len; k++) {
                if((j>>>k&1)==1) {
                    v2 *= tmpGetFactor[k];
                }
            }
            factor[len2++] = v2;
        }
        return len2;
    }

    final int MAX_N = 100000;
    final int MAX_L = 1000000;
    int n;
    int[][] es;
    int[][] Qs;
    int[] minDiv = minDivisor(MAX_L+1);
    
    // [0,n]
    int[] moebiusMu(int n) {
        int[] ret = new int[n+1];
        ret[1] = 1;
        for(int i = 2; i < ret.length; i++) {
            if(minDiv[i/minDiv[i]] == minDiv[i]) {
                // square
                ret[i] = 0;
            }
            else {
                ret[i] = -ret[i/minDiv[i]];
            }
        }
        return ret;
    }
    
    private static int[] minDivisor(int n) {
        final int[] min = new int[n+1];
        min[0] = min[1] = 1;
        for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
            if(min[i] == 0) {
                min[i] = i;
                for(int j = i*i; j <= n; j += i) {
                    if(min[j] == 0) {
                        min[j] = i;
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            if(min[i] == 0) {
                min[i] = i;
            }
        }
        return min;
    }
    
    static
    class UnionFind_ClearFast_Sum {
        private int gid;
        private int[] id;
        private int[] data;
        private int[] val;
        
        public UnionFind_ClearFast_Sum(int size) {
            data = new int[size];
            id = new int[size];
            val = new int[size];
            clear();
        }
        
        public void clear() {
            gid++;
        }
        public void setSum(int x, int v) { val[root(x)] = v; }
        public int getSum(int x) { return val[root(x)]; }
        
        private void access(int x) { if(gid != id[x]) { id[x] = gid; data[x] = -1; } }
        public int root(int x) { access(x); return data[x] < 0 ? x : (data[x] = root(data[x])); }
        
        public void union(int x, int y) {
            if((x = root(x)) != (y = root(y))) {
                if(data[y] < data[x]) { final int t = x; x = y; y = t; }
                data[x] += data[y];
                data[y] = x;
                val[x] += val[y];
            }
        }
        
        public boolean same(int x, int y) { return root(x) == root(y); }
        public int size(int x) { return -data[root(x)]; }
    }

    // for debug
    void searchBadCase() {
        n = 10;
        es = new int[n-1][];
        for(int i = 0; i < n - 1; i++) {
            int s, t, w;
            s = i + 1;
            t = random.nextInt(i + 1);
            w = random.nextInt(10)+1;
            es[i] = new int[]{s,t,w,};
        }
        
        Qs = new int[3][2];
        for(int i = 0; i < Qs.length; i++) {
            Qs[i][0] = random.nextInt(n-1);
            Qs[i][1] = random.nextInt(10)+1;
        }

        long[] res = solve();
        long[] res2 = naive();
        if(!Arrays.equals(res, res2)) {
            System.err.println(Arrays.deepToString(es));
            System.err.println(Arrays.deepToString(Qs));
            System.err.println(Arrays.toString(res));
            System.err.println(Arrays.toString(res2));
            throw new RuntimeException();
        }
        System.err.println("ok");
    }
    
    long[] naive() {
        int[][] es2 = new int[n-1][3];
        for(int i = 0; i < n - 1; i++) {
            for(int j = 0; j < es[i].length; j++) {
                es2[i][j] = es[i][j];
            }
        }
        long[] res = new long[Qs.length+1];
        for(int i = 0; i <= Qs.length; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                res[i] += dfs(es2, j, -1, 0);
            }
            res[i] /= 2;
            if(i != Qs.length) {
                es2[Qs[i][0]][2] = Qs[i][1];
            }
        }
        return res;
    }
    
    int dfs(int[][] es2, int v, int p, int g) {
        int res = 0;
        if(g == 1) res++;
        for(int i = 0; i < es2.length; i++) {
            for(int j = 0; j < 2; j++) {
                if(es2[i][j] == v && es2[i][j^1] != p) {
                    res += dfs(es2 ,es2[i][j^1], v, gcd(g, es2[i][2]));
                }
            }
        }
        return res;
    }
    
    /// TEMPLATE
    static int gcd(int n, int r) { return r == 0 ? n : gcd(r, n%r); }
    static long gcd(long n, long r) { return r == 0 ? n : gcd(r, n%r); }
    
    static <T> void swap(T[] x, int i, int j) { T t = x[i]; x[i] = x[j]; x[j] = t; }
    static void swap(int[] x, int i, int j) { int t = x[i]; x[i] = x[j]; x[j] = t; }
    
    void main() throws IOException, InterruptedException {
        //     IOFast.setFileIO("rle-size.in", "rle-size.out");
        try {
            Thread thread = new Thread(null, this, "0", 1<<25);
            thread.start();
            thread.join();
//         run();
        }
        catch (EndOfFileRuntimeException e) { }
        io.out.flush();
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException, InterruptedException { new Main().main(); }
    
    static class EndOfFileRuntimeException extends RuntimeException {
        private static final long serialVersionUID = -8565341110209207657L; }

    static
    public class IOFast {
        private BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        private PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

        void setFileIn(String ins) throws IOException { in.close(); in = new BufferedReader(new FileReader(ins)); }
        void setFileOut(String outs) throws IOException { out.flush(); out.close(); out = new PrintWriter(new FileWriter(outs)); }
        void setFileIO(String ins, String outs) throws IOException { setFileIn(ins); setFileOut(outs); }

        private static int pos, readLen;
        private static final char[] buffer = new char[1024 * 8];
        private static char[] str = new char[500*8*2];
        private static boolean[] isDigit = new boolean[256];
        private static boolean[] isSpace = new boolean[256];
        private static boolean[] isLineSep = new boolean[256];

        static { for(int i = 0; i < 10; i++) { isDigit['0' + i] = true; } isDigit['-'] = true; isSpace[' '] = isSpace['\r'] = isSpace['\n'] = isSpace['\t'] = true; isLineSep['\r'] = isLineSep['\n'] = true; }
        public int read() throws IOException { if(pos >= readLen) { pos = 0; readLen = in.read(buffer); if(readLen <= 0) { throw new EndOfFileRuntimeException(); } } return buffer[pos++]; }
        public int nextInt() throws IOException { int len = 0; str[len++] = nextChar(); len = reads(len, isSpace); int i = 0; int ret = 0; if(str[0] == '-') { i = 1; } for(; i < len; i++) ret = ret * 10 + str[i] - '0'; if(str[0] == '-') { ret = -ret; } return ret; }
        public long nextLong() throws IOException { int len = 0; str[len++] = nextChar(); len = reads(len, isSpace); int i = 0; long ret = 0; if(str[0] == '-') { i = 1; } for(; i < len; i++) ret = ret * 10 + str[i] - '0'; if(str[0] == '-') { ret = -ret; } return ret; }
        public char nextChar() throws IOException { while(true) { final int c = read(); if(!isSpace[c]) { return (char)c; } } }
        int reads(int len, boolean[] accept) throws IOException { try { while(true) { final int c = read(); if(accept[c]) { break; } if(str.length == len) { char[] rep = new char[str.length * 3 / 2]; System.arraycopy(str, 0, rep, 0, str.length); str = rep; } str[len++] = (char)c; } } catch(EndOfFileRuntimeException e) { ; } return len; }
        int reads(char[] cs, int len, boolean[] accept) throws IOException { try { while(true) { final int c = read(); if(accept[c]) { break; } cs[len++] = (char)c; } } catch(EndOfFileRuntimeException e) { ; } return len; }
        public char[] nextLine() throws IOException { int len = 0; str[len++] = nextChar(); len = reads(len, isLineSep); try { if(str[len-1] == '\r') { len--; read(); } } catch(EndOfFileRuntimeException e) { ; } return Arrays.copyOf(str, len); }
        public String nextString() throws IOException { return new String(next()); }
        public char[] next() throws IOException { int len = 0; str[len++] = nextChar(); len = reads(len, isSpace); return Arrays.copyOf(str, len); }
        public int next(char[] cs) throws IOException { int len = 0; cs[len++] = nextChar(); len = reads(cs, len, isSpace); return len; }
        public double nextDouble() throws IOException { return Double.parseDouble(nextString()); }
        public long[] nextLongArray(final int n) throws IOException { final long[] res = new long[n]; for(int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nextLong(); } return res; }
        public int[] nextIntArray(final int n) throws IOException { final int[] res = new int[n]; for(int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nextInt(); } return res; }
        public int[][] nextIntArray2D(final int n, final int k) throws IOException { final int[][] res = new int[n][]; for(int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nextIntArray(k); } return res; }
        public int[][] nextIntArray2DWithIndex(final int n, final int k) throws IOException { final int[][] res = new int[n][k+1]; for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < k; j++) { res[i][j] = nextInt(); } res[i][k] = i; } return res; }
        public double[] nextDoubleArray(final int n) throws IOException { final double[] res = new double[n]; for(int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nextDouble(); } return res; }
    }
}